Learning to Control The iUzawa-Net for Nonsmooth Optimal Control of Linear PDEs

Title: Learning to Control: The iUzawa-Net for Nonsmooth Optimal Control of Linear PDEs
Authors: Yongcun Song, Xiaoming Yuan, Hangrui Yue, Tianyou Zeng
arXiv: https://arxiv.org/abs/2602.12273

Problem framing

面向线性 PDE 的非光滑最优控制通常难以实时求解；经典算法精度高但慢，端到端网络快但缺乏可证最优性。该文试图用“优化算法展开网络”在两者间取平衡。

Core method

iUzawa-Net 将 inexact Uzawa saddle-point 迭代展开为可学习网络层，把预条件与 PDE 子求解器神经化，并保留算法结构约束，实现“可学习但不失可解释”。

Key equations and mechanisms

典型 saddle 形式： ${\min }_u{\max }_{\lambda }\mathcal{L}(u,\lambda )=f(u)+⟨\lambda ,Au-b⟩+g(u)$ Uzawa 迭代被参数化为可训练映射，并给出逼近性质与渐近 $\epsilon$-optimality。机制上属于“theory-guided deep unrolling”，对控制与科学计算都很关键。

Experiment reading guide

看两点：

• 与传统求解器在误差-时延曲线上的 Pareto 优势；
• 在不同 PDE 设定上的泛化稳定性。 若实时性提升显著且误差可控，这类方法对机器人模型预测控制有潜在价值。

Limitations

• 当前主要在线性 PDE 场景验证；
• 推到非线性/高维复杂边界条件时可能需重新设计网络算子。

Future work

可结合 operator learning 与鲁棒控制约束，推动 PDE 控制从离线优化走向在线闭环。

Replication angle

复现建议先在公开 PDE 控制基准重建 Uzawa 展开层，再替换不同预条件网络，观察收敛速度与稳定性。

Figure links

• arXiv 页面无稳定直链图片（source 主要为 PDF 图，已提取但未提供稳定网页直链）

Graph: Paper Node 2602.12273